2026年10月21日下午，致远学院第319期ZY-INS沙龙在致远学院（光彪楼）一楼报告厅举办。本期沙龙以“随机偏微分方程”为主题，特邀上海交通大学数学科学学院教授、博士生导师张登担任主讲嘉宾。报告从生活中的随机现象出发，张教授围绕随机Navier–Stokes方程与随机薛定谔方程两类重要模型，介绍相关领域的研究进展，带领同学们感受概率论与偏微分方程交汇的魅力。

骑车时迎面吹来的一阵风、飞行途中遇到的气流颠簸、温度的起伏变化……随机扰动在日常生活中无处不在。当这些不确定因素进入数学模型，系统的演化会发生怎样的变化？报告伊始，张教授从同学们熟悉的常微分方程讲起，逐步引入随机外力与布朗运动，将抽象的数学问题与直观的生活体验联系起来。

围绕布朗运动，张教授借助轨道图像展示了其连续而不规则的特点，并将起伏的曲线比作远望时的山峦轮廓。这种不规则性给经典微积分的方法带来新的挑战，也推动了随机分析的发展。随后，张教授介绍了伊藤积分与伊藤公式的基本思想，结合热方程说明：布朗运动与偏微分方程之间可以建立紧密联系，从而在概率论与分析学之间架起桥梁，使人们能够从不同角度研究同一个问题。

报告的第一条主线是随机Navier–Stokes方程。围绕流体运动中的复杂现象，张教授介绍了湍流研究的概率视角，以及能量由大尺度涡旋向小尺度传递、最终耗散的直观图景。在此基础上，他通过生动的图像展示拉格朗日流的演化：起初集中的粒子随着流体运动不断拉伸、交织，逐渐形成复杂的纹理，让同学们直观感受到流体混合与混沌现象的丰富形态。

如何将图像中的“混乱”转化为严格的数学描述？张教授进一步介绍了最大李雅普诺夫指数这一重要指标：当这一指数为正时，初始位置十分接近的轨道也可能随时间迅速分离，体现出系统对初始条件的敏感依赖。他结合团队的相关研究，介绍了有限维随机扰动下研究这一问题的思路，并指出混沌性质与系统的可控性之间存在深刻联系。围绕三维Navier–Stokes方程，他还介绍了弱解唯一性问题及相关研究，让同学们看到，从物理直觉走向严格证明，需要怎样的数学探索。

报告后半程，张教授将视角转向非线性薛定谔方程，通过图像对比介绍了散射、孤波与爆破三类不同的演化行为：有的波包逐渐展宽、振幅减小；有的在传播中保持形态；有的则不断集中，呈现爆破行为。这些直观展示让抽象的解的性质变得可感，也引出了多波包爆破解、多孤波解及其唯一性等前沿问题。

随机噪声的加入，是否只会使问题更加复杂？张教授结合相关研究给出了另一种视角：在适当条件下，噪声也可能产生有益的作用，例如抑制爆破、促使解发生散射。报告开篇作为分析难点出现的布朗运动不规则性，在这里又成为理解噪声作用的重要线索。从“带来困难”到“帮助解决问题”，这一转变呈现了随机偏微分方程研究中富有启发性的一面。

在互动交流环节，同学们围绕随机方程与确定性方程的区别、伊藤积分的定义及其与经典积分的关系等问题与张教授交流。针对随机偏微分方程研究的主要困难，张教授指出，噪声的粗糙性会使解的处理以及非线性运算的定义面临挑战，需要借助新的分析工具。对于伊藤积分为何选取左端点的问题，他从“只能利用当前及过去的信息”这一角度作出解释，并结合金融决策等例子帮助同学们理解。讨论还延伸至流形上的布朗运动，再次展现了概率、分析与几何之间的联系。

整场报告从基础概念循序展开，结合生活实例、动态图像与研究故事，将同学们带入随机偏微分方程的前沿世界。从布朗运动到流体混沌，从波包演化到噪声的稳定作用，张教授的分享展现了随机性所蕴含的丰富数学结构，也为同学们进一步探索概率论与偏微分方程的交叉领域带来了启发。作为致远学院持续打造的高水平学术交流平台，ZY-INS沙龙将继续汇聚前沿领域专家，为同学们带来更加丰富而深入的学术交流体验。