数学分析(A类)(3) 2010-2011秋季学期 2009级数理科学

任课老师

数学分析三教学大纲

 

教材:

常庚哲、史济怀:数学分析教程(下册) ,高等教育出版社

 

参考书:

陈纪修、於崇华、金路:数学分析(第二版,下册),高等教育出版社

Walter Rudin:数学分析原理(中译本),机械工业出版社

卓里奇:数学分析(第二卷,中译本),高等教育出版社

William Trench Introduction to Real analysis,  (免费下载:http://ramanujan.math.trinity.edu/wtrench/texts/TRENCH_REAL_ANALYSIS.PDF

 

 

 

第一章:多重积分

(本章未用教材上的讲法)

1.    问题分析

2.    定义Jordan可测概念和基本性质

3.    多重积分定义和基本性质

4.    重积分化累次积分计算

5.    补充:变量代换公式证明

6.    各种例题和物理应用

 

第二章:曲线积分

1.    第一型曲线积分
问题的提出、定义、计算公式、例题

2.    第二型曲线积分

      问题的提出、定义、计算公式、例题

3.    Green公式

      公式的意义、证明、例题

 

第三章:曲面积分

1.    曲面的定义和面积

2.    第一型曲面积分

      问题的提出、定义、计算公式、例题

3.    第二型曲面积分

      定向问题、诱导定向

      问题的提出、定义、计算公式、例题

4.    Gauss公式和Stokes公式

      曲面边界的诱导定向

      公式的意义、证明和应用

5.    微分形式和外微分运算

      如何将Green公式、Gauss公式和Stokes公式表示为统一的形式

 

第四章:含参变量积分

1.    含参变量常意积分

2.    含参变量反常积分的一致收敛性质

      补充:多元的反常积分和多元的含参变量反常积分

3.    含参变量反常积分的性质

      关于参数的连续性、参数求导、参数积分

      例题

4.    Gamma函数和Betta函数简介

 

第五章:场的数学

1.    梯度

2.    散度

3.    旋度

4.    积分与路径无关性

5.    场论记号与微分形式的对应关系

6.    补充:静电场和静磁场的理论

      作为场论知识和含参变量积分的综合应用与检验

7.    补充:调和函数与极大值原理

 

第六章:Fourier级数和变换

1.    介绍与动机

2.    周期函数的Fourier级数(形式展开和计算)

3.    Fourier级数的逐点收敛讨论

      不收敛的例子、收敛的充分条件

4.    均方收敛性

      均方收敛的理论框架、Parseval等式的证明

5.    Fourier变换的介绍

 

 

备注: 目前第一章的教学已经结束,是按照大纲来讲的。后面的只是教学计划,不排除根据学生反映和课时因素调整的可能性。