抽象代数 2010-2011秋季学期 2008级数理科学

任课老师

教学大纲

课程性质

抽象代数是高等学校数学类各专业的必修课。它是研究群、环、域这三种基本的代数结构的一门课程。主要内容包括群的基本结构理论、群在集合上的作用及其应用、环的基本结构和因子分解理论、中国剩余定理、域的扩张理论、有限域及其应用、Galois理论及其应用。

教学目标

要使学生掌握抽象代数基本的理论与方法,注意结合具体的例子来理解抽象代数中的数学概念、思想和思维方法,使学生的抽象思维能力得到系统的训练和提高,为进一步学习数学和其它学科奠定坚实的代数基础。

课程教学内容及学时分配

第1章 群论

1.0 课程简介

历史演变与研究对象:数数-算术-代数-结构-作用
基本的代数结构: 群、环、域
特点与重要性: 从三方面讲:理论、应用、思维的训练
要求与学习提示:
概念清楚、意义明确、理解准确、逻辑严密
强调例子对于理解和发展的重要性
掌握standard arguments
思考、比较、联系;多想、多练

1.1 对称性与群概念的引入

美(beauty)的基本要素:对称性
怎样数学地描述现实世界中对称性?:图形M的对称性理解为集合M的
保距(一一)变换;从而这种变换的集合连同变换的合成(即M的对称群)体现了图形M有“多少”对称性;
用圆的对称群和正多边形的对称群作比较;
引出群的观念.
推荐泛读H.Weyl:“Symmetry”,Princeton University Press,1952(中译本,上海科技教育出版社,2002,冯承天、陆继宗译)

1.2 群的定义与例子

什么是群(强调4条);
简单性质(单位元与逆元的唯一性;左、右消去律;穿脱原理);
举例:数群、GL(n, C), O(n, R), U(n, C), SL(n, Z)(对求逆封闭), 集合的变换群(乘法是什么),剩余类加群(第1次遇到“定义合理性”问题);
稍进一步的性质(单边定义;除法定义;有限半群成群的充要条件);
有限群的群表;
群同态、群同构及其意义;举例(如:行列式映射,指数函数);
自同构群;举例:有理数加群的自同构群.

1.3 子群与Lagrange定理

子群的定义;单位元与逆元的一致性;
子群的判定;
子群的例子:SL(n, C) < GL(n, C), SO(n, R) < O(n, R), SU(n, C) < U(n,C);
子群的构造: 交,积成为子群的条件;
集合上的关系;
等价关系与划分;等价类;举例;
左陪集分解和Lagrange定理 (右陪集分解和Lagrange定理;由此得到子群的指数的意义;左陪集分解和右陪集分解的一种对应)
难点:(左)陪集分解的一个完全代表元系
Lagrange定理的应用举例:包括元素的阶及计算; 两子群积集的计数公式.

1.4 循环群

固定阶循环群在同构意义下的唯一性;
有限循环群的固定阶子群在通常意义下的唯一性;
循环群的生成元和自同构群.

1.5 共轭关系

中心、中心化子、共轭元的个数;
类方程及其应用:p-群有非平凡的中心;p平方阶群是Abel群.
正规化子、共轭子群的个数。

1.6 正规子群、商群、群同态基本定理

正规子群的定义与例子;
商群的构造;为什么要商群?
同态基本定理:表述、意义、证明和应用(子群对应定理和两个同构定理);
应用举例:内自同构群同构于G/Z(G).

1.7 置换群

变换群的重要性;Cayley定理;
S_n中元素的表达、奇偶性、阶;
对称群与交错群的生成系
置换的型;共轭类的划分;
有限单群;A_n (n>4)的单性;
举例:S_n的正规子群;S4/K4同构于S_3.

1.8 群在集合上的作用

群作用的思想;两种定义的等价性;作用的核;
三种典型的作用及其核:(左)正则作用;(左)诱导作用;共轭作用;
轨道公式;举例;
正多面体的旋转群和对称群; 提及:Klein关于几何学的Erlangen纲领:(欧氏、仿射、射影等)几何学与(相应地,正交变换、仿射变换、射影变换等)群作用下的不变性.

1.9 Burnside引理在不同领域计数中的应用

Burnside引理;
在如下应用中选一讲:项链问题、开关线路问题、正多面体的着色问题、分子结构的计数

1.10 Sylow定理

有限群Sylow I, II, III的表述与部分证明(作为群作用的应用);
举例:利用Sylow定理判断有限群的非单性;
确定阶数最小的单的非Abel群,即A_5
其他例子.

1.11 群的直积

外直积与内直积的统一;直积的等价刻画;
当(n, m)=1时,Z_n X Z_m = Z_{nm};
举例.

1.12 群的生成元与定义关系

自由群的概念;
自由群的商群可表达任一群;并由此导出用生成元和定义关系表达群;
举例:二面体群生成元和定义关系;四元数群的生成元和定义关系;
有限生成自由Abel群的秩.

1.13 有限生成Abel群

归结为有限生成自由Abel群(秩)与有限Abel群;
有限Abel群与数的划分的关系;
会用初等因子和不变因子对有限Abel群分类;
举例:求互不同构的1500阶Abel群;
有限Abel群的Lagrange定理之逆成立.

1.14 小阶群的结构

2p阶非Abel群;
8阶和12阶非Abel群;
确定1至15阶群(列表).

1.15 可解群

换位子群与商群的可换性之间的关系;
可解群的定义和基本性质;
举例:S_n, A_n, D_n; p-群; pq阶群
可解群的等价刻画.
第1章总结、再举例
随堂期中考试
试卷点评

第2章 环论

2.1 环的基本概念

定义;
简单性质;
举例(数环、剩余类环、矩阵环、加群的自同态环、群环、四元数体)

2.2 环同态基本定理

理想的构造;
举例:域上全矩阵环是单环;
商环的构造;
环同态基本定理的意义(强调与群论的平行和区别);
举例.

2.3 同态基本定理的应用

无零因子环的特征;
商域.

2.4 中国剩余定理在“秘密共享”中的应用
2.5 唯一因子分解整环

不可约元与素元;
非UFD的例子;
因子分解理论;UFD的三个等价刻画.

2.6 主理想整环和Euclid整环

UFD, PID, ED三者之间的关系;
PID中的极大理想和素理想.

2.7 多项式环

简略回顾及推广高等代数中多项式部分(包括Eisenstein不可约性判别法);
Gauss定理:UFD上的多项式环仍是UFD;
域上多元多项式环不是主理想整环.

第3章 域论

3.1 域的扩张

素域、域扩张的方法(归结为单扩域);
单扩域的结构;
举例;
有限扩域与代数扩域及其关系.

3.2 分裂域

意义、存在与唯一性;
同构延拓定理;
Galois群的阶.

3.3 有限域

结构定理;
具体构造;
不可约多项式;
提及:Wedderburn定理(有限体是域,不作证明);
举例:有限域上的一般线性群和特殊线性群.

3.4 可分扩域和正规扩域

可分性;
正规扩域与分裂域;
有限Galois扩域.

第4章 Galois理论

4.1 Galois理论的基本定理

群和域的反序对应关系;
举例.

4.2 代数方程的Galois群

作为根集的(可迁)置换群;
其它算法举例.

4.3 代数方程的根式可解性

根式可解的含义;
Galois’ Great Theorem (利用上述基本定理怎样将代数方程的根式可解性归结为其Galois群的可解性)

4.4 尺规作图问题

课程总结及再举例
注:关于模将在后续课程群与代数表示中涉及

教学方法

本课程以课堂教学为主,结合自学,培养学生从具体到抽象的能力、抽象思维和推理的能力、从抽象到具体的能力、以及严谨表述和正确计算的能力。

在本课程的教学中适当安排课堂讨论,包括让学生上台讲自己对概念和定理的表述和理解并加以点评。通过这样的活动提高学生的清晰思考和用语言文字准确表达的能力、发现分析和解决问题的能力。

每节课的课堂教学大致有如下部分组成:
1.回顾要用到的已学的要点(一般不超过3分钟)
2.以问题的方式提出本次课要讨论和解决的主要问题(一般不超过3分钟)
3.主要的推理和讲解;注意具体例子
4.总结部分 (包括布置作业合课外思考。一般不超过3分钟)
5.询问解答疑难和开展讨论部分(一般为5分钟左右)。特别的课堂讨论另外安排时间。

考核及成绩评定方式

最终成绩由平时作业、大作业、读书报告与小论文、期中与期未考试成绩组合而成。各部分所占比例如下:

平时作业8%。主要考核对知识点的掌握程度。由于目前助教对于平时作业情况记录的区分度不太明显,根据以往的经验此部分不宜太高。大致区分度为:每次作业都认真独立完成且基本正确得7-8分;作业根本不做且不上课为零分;作业交不到一半次数且潦草质量差得1-3分;介于中间者为4-6分。

大作业、读书报告与小论文:6%。由于这是一门基础课程,这部分比例目前也不宜大。这部分虽小, 但对于要取得荣誉的同学是要通过这关才能实现。根据以往的经验通常只有学得较好、并且富有创新精神的同学才有时间和能力完成。大作业基本内容为:例如,18阶和20阶群的分类;455阶群的分类;Burnside引理在开关线路问题、正多面体的着色问题、分子结构的计数等中的应用举例;有限域在编码中的应用等等。读书报告有更广泛的题材:可以是与本课程相关的内容,同学通过阅读和思考,将所读内容整理成文并有自己的理解。例如,将Wedderburn定理的证明用自己的语言整理清楚。小论文包括自己独立发现的小结果甚至新的习题;更包括用所学知识去解决应用问题等等。这部分可以独立完成,也可以由不超过4人的一组合作完成,借以提高与不同类型的人合作共事的能力。

考试:期中36%,期未50%。主要考核对抽象代数基本理论的理解程度以及抽象思维方式的掌握程度。

参考教材

教材
《近世代数引论》,冯克勤、李尚志、章璞,中国科学技术大学出版社,2009(第3版).
(该教材为“十一五”国家重点图书,中国科学院指定考研参考书)

参考书目:
1.《近世代数基础》,刘绍学,高等教育出版社,1999.
2.《近世代数初步》,石生明,高等教育出版社,2002.
3.《代数学引论》,聂灵沼、丁石孙,高等教育出版社,1993.
4.Basic Algebra I, Nathan Jacobson, W.H.Freman and Company, 1974.
5.Contemporary Abstract Algebra,J.A. Gallian, Heath and Company, 1994.
6.Algebra, M. Artin, Pearson Education, Inc. 1991.
7.Algebra, I. M. Isaacs, Wadworth Inc. 1994.
8.《应用近世代数》,胡冠章,清华大学出版社,2002(第2版).
9.《近世代数三百题》,冯克勤、章璞,高等教育出版社,2010.
10.《近世代数导引》,刘绍学、章璞,高等教育出版社,2010.