数学分析(1) 2013-2014秋季学期 2013级物理学

任课老师

基本信息

学分:5.0

学时:119

时间:星期二8:00-9:40&星期三10:00-11:40&星期四8:00-9:40(单周)&星期五8:00-9:40

地点: 下院309

课程代码:MA122

助教:王啸宇(E-mail:wangxymath@163.com

教学大纲

课程性质和任务

以经典微积分为主要内容的《数学分析》是大学数学的重要基础课,是从初等数学到高等数学过渡的桥梁之一,将为后续数学课程及相关选修课提供所需要的数学基础。其特点是:内容多,跨度大,概念抽象,系统性与逻辑性强,思想方法重要,应用广泛。其重要作用以及对学生产生的长远影响是其它任何一门课程都难以替代的。
本课程的基本内容有:极限与连续,一元函数微分学,一元函数积分学,多元函数微分学,多元函数积分学,级数论,广义积分与含参数积分等。
通过教学,不仅要教会学生循序渐进地领会已抽象出来的普遍结论、掌握相关内容的基本概念、基本理论和基本方法,更重要的是培养学生系统、严密的抽象逻辑思维能力和论证能力、科学规范的表达能力,使其切实掌握运用数学工具分析问题、转化问题、解决问题的思想和方法。

教学内容和基本要求

第一章 集合与映射 (8/4)
集合的概念与运算;有限集与无限集;映射与一一对应概念;函数概念;函数的几种特性(单调性、有界性、周期性等);复合函数与反函数;初等函数。
理解:有限集与无限集;可列集;映射及一一对应概念;函数概念;函数单调性、有界性定义。了解:基本初等函数与初等函数。
掌握:集合及其运算;函数自然定义域的确定;函数有界或无界的证明方法;函数复合与分解方法;按定义证明函数单调性。

第二章 数列极限(14/6)
数列极限概念:收敛数列的性质及运算;无穷小与无穷大;上、下确界概念;确界原理;单调有界定理;Cauchy收敛准则;子列概念;致密性定理;区间套定理;有限覆盖定理;
理解:数列极限概念;无穷小与无穷大;上、下确界概念;致密性定理、区间套定理与有限覆盖定理;了解:收敛数列的各种性质;无穷小、无穷大概念及阶的比较。知道:数列的上、下极限计算。
掌握:数列极限ε-N论证方法;数列极限的计算方法;用单调有界定理与Cauchy准则证明数列收敛或发散;致密性定理、区间套定理与有限覆盖定理的证明及用其证明问题的基本方法与技巧。

第三章 函数极限与连续函数(14/6)
六类过程中的函数极限;函数极限定理;Heine归结原理;两个重要极限。函数的连续与间断;连续函数的性质;复合函数与反函数的连续性;闭区间上连续函数的性质;函数的一致连续性。
理解:函数极限概念及性质;函数的点连续与一致连续概念及性质。了解:归结原理;无穷小、无穷大概念及阶的比较,闭区间上连续函数性质的证明方法。知道:复合函数极限的变量替换定理;反函数连续性定理。
掌握:ε-δ论证方法;函数极限的计算方法;无穷小的等价代换;连续性判断与间断点的分类;闭区间上连续函数性质的证明及用其证明相关问题的基本方法与技巧;按定义证明函数的一致连续性。

第四章 导数与微分(8/4)
导数概念;求导法则与导数计算;微分概念与微分计算;一阶微分形式不变性;高阶导数与高阶微分。
理解:导数与微分概念及其关系;一阶微分形式不变性。了解:导数与微分的几何意义。知道:微分用于近似计算。
掌握:可导性判断;导数(含高阶导数)计算;隐函数与用参数方程表示的函数求导方法;求高阶导数的Leibniz公式。

第五章 微分中值定理及其应用(16/6)
Fermat引理;Rolle中值定理、Lagrange中值定理与Cauchy中值定理;Taylor公式;L’Hospital法则。凸函数概念及其性质;利用导数研究函数性态;函数作图。
理解:Fermat引理;Rolle中值定理、Lagrange中值定理与Cauchy中值定理;Taylor公式;L’Hospital法则;凸函数概念及其性质。了解:导数的Darboux定理;函数极值的两个充分条件。知道:Taylor公式用于近似计算;方程求根的Newton切线法。
掌握:用中值定理证明问题的基本方法与技巧;用Taylor公式证明问题的基本方法与技巧;函数展开为Taylor公式(带Peano余项与带Lagrange余项);用L’Hospital法则计算极限;函数性态研究与作图。

第六章 不定积分(10/6)
原函数与不定积分概念;基本积分公式;不定积分的运算法则;换元积分法与分部积分法;有理函数的不定积分;三角函数的不定积分;某些无理函数的不定积分。
理解:原函数与不定积分概念。了解:三类可用Euler变换的无理函数不定积分。知道:二项微分式的不定积分。
掌握:不定积分基本公式;换元积分法与分部积分法;有理函数、三角函数与特殊无理函数的不定积分计算。

说明:本学期总学时112。其中讲授70学时,习题课32学时,测验与考查4学时,机动6学时(国定节假日等)。

对学生能力培养的要求

通过本课程学习培养学生系统、严密的抽象思维与逻辑推理的能力、论证能力和运算技能,掌握连续变量数学的基本特点与方法,并通过教学各环节使学生适应大学的学习方式,同时学会用科学、规范的语言和方式表达思想。切实掌握运用数学工具分析问题、转化问题、解决问题的思想和方法。

其它说明

为保证基础课教学计划的顺利实施,给今后系统的专业理论学习打下扎实的基础,贯彻严格要求、严格训练、严格规范、严格纪律的指导思想,使学生养成认真踏实的良好学风,特对教学分析作业作出如下规定:
一、强调:学生课后应仔细阅读教材、笔记及参考书籍,并在透彻理解所学内容的基础上再动手完成作业。没有认真做好复习工作之前不应急于赶时间、抢进度。
二、数学分析作业每周收一次,学生应在规定时间准时交作业,不得无故迟交或旷交。如有特殊原因需迟交,应事先取得任课老师同意。对确因有困难而不得完成当周所指定全部习题者,也应按作业并向老师说明,以便老师了解情况及时予以帮助和指导。事后学生应及时补全所缺作业。
三、作业必须按规定抄题,作业纸不得折页分成左右两半书写,题与题之间应留空行,以便老师阅改。
四、作业要求想得清楚,说得明白,写得有条理。学生应养成细致、严密的思考习惯和认真踏实、一丝不敬的良好学风。
五、作业书写必须认真、端正、清晰,凡作图一律用尺规。有关的数学符号书写必须符合规定,不得使用非规范简体字和非规范数学符号。
六、作业改错必须按规定方法进行,禁止在作业本上乱涂乱划乱改,不准将作业本当草稿本用。
七、凡作业马虎、书写潦草及不符合规范化要求的作业,教师一律不予批改并退回学生重做。学生应根据教师要求认真改正后在规定期限内补交,在取得教师认可后方能作数。
八、作业的规范化标准一律以正规出版的高校教材为准,特别是以高等教育出版社和科学出版社出版的刊物和专著为准。
九、对优秀作业以及有独到和创新见解者,将予以肯定和鼓励;对学习态度不认真者,将予以批评教育。经批评教育仍未有明显改进者,将提出警告,直至按校、系有关条例作出相应处理。

参考教材

《数学分析》(上、下),陈纪修等编,高等教育出版社(2004年)。(暂教材)
《数学分析教程》(上、下),常庚哲等编,高等教育出版社(2003年)
《数学分析》(1-3),彭立中等编,高等教育出版社(2005年)
《数学分析》,陈传璋等编,复旦大学出版社 (1990年)
《数学分析习题课教材》,方企勤等编,北京大学出版社(1990年)
《数学分析习题集题解》(共六册第三版),吉米多维奇(著),费定晖、周学圣(译),山东科学技术出版社(2005年)
《数学分析学习指导》,裘兆泰等编,科学出版社(2004年)
《高等数学起步》,梁进等编,科学出版社(2008年)
《数学分析中的典型问题与方法》,裴礼文编,高等教育出版社(1993年)
《数学分析中的问题与反例》,汪林编,云南科技出版社(1990年)
《微积分学教程》(共三卷第八版),Γ.Μ.菲赫金哥尔茨(著),高等教育出版社(2006年)。
《数学分析原理》(原书第三版),Walter Rudin(著),赵慈庚、蒋铎(译),机械工业出版社(2005年)。